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# 83. stirling

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## 83.1 Functions and Variables for stirling

関数: stirling
`stirling` (z,n)
`stirling` (z,n,pred)

  `gamma(x)`を O(1/x^(2n-1)) Stirling公式で置き換えます。 nが非負の整数の時、エラーを知らせます。 オプションの三番目の引数 `pred`があると、 `pred`が trueの時だけ Stirling公式を適用します。

  参照文献: Abramowitz & Stegun, " Handbook of mathematical functions", 6.1.40.

  例:

      (%i1) load ("stirling")$

      (%i2) stirling(gamma(%alpha+x)/gamma(x),1);
             1/2 - x             x + %alpha - 1/2
      (%o2) x        (x + %alpha)
                                         1           1
                                  --------------- - ---- - %alpha
                                  12 (x + %alpha)   12 x
                                %e
      (%i3) taylor(%,x,inf,1);
                          %alpha       2    %alpha
                %alpha   x       %alpha  - x       %alpha
      (%o3)/T/ x       + -------------------------------- + . . .
                                       2 x
      (%i4) map('factor,%);
                                             %alpha - 1
               %alpha   (%alpha - 1) %alpha x
      (%o4)   x       + -------------------------------
                                        2

  関数`stirling`は変数　'gamma'と関数　gammaの違いを知っています:

      (%i5) stirling(gamma + gamma(x),0);
                                          x - 1/2   - x
      (%o5)    gamma + sqrt(2) sqrt(%pi) x        %e
      (%i6) stirling(gamma(y) + gamma(x),0);
                               y - 1/2   - y
      (%o6) sqrt(2) sqrt(%pi) y        %e
                                                    x - 1/2   - x
                               + sqrt(2) sqrt(%pi) x        %e

  変数 `k`を含む項だけに Stirling公式を適用するためにオプションの三番目の引数を使います; 例えば、

      (%i7) makegamma(pochhammer(a,k)/pochhammer(b,k));
      (%o7) (gamma(b)*gamma(k+a))/(gamma(a)*gamma(k+b))
      (%i8) stirling(%,1, lambda([s], not(freeof(k,s))));
      (%o8) (%e^(b-a)*gamma(b)*(k+a)^(k+a-1/2)*(k+b)^(-k-b+1/2))/gamma(a)

  項 `gamma(a)`と `gamma(b)`は、 `k`を含まないので、 Stirling公式はこれら２つの項に適用されませんでした。

  この関数を使うには最初に `load("stirling")`と書いてください。

  Categories: Gamma and factorial functions · Share packages · Package stirling

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