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# 78. romberg

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## 78.1 Functions and Variables for romberg

関数: romberg
`romberg` (expr, x, a, b)
`romberg` (F, a, b)

  Romberg法による数値積分を計算します。

  `romberg(expr, x, a, b)`は積分 `integrate(expr, x, a, b)`の概算を返します。

  exprは、 xが浮動小数点値にバインドされた時 浮動小数点値に評価される式でなければいけません。

  `romberg(F, a, b)`は積分 `integrate(F(x), x, a, b)`の概算を返します。 ここで、 `x`は Fの名付けられない唯一の引数を表します; 実際の引数は `x`と名付けられません。 Fは、引数が浮動小数点値の時、浮動小数点値を返す Maximaか Lispの関数でなければいけません。 Fは翻訳またはコンパイルされた Maxima関数を指定することができます。

  グローバル変数 `rombergabs`と `rombergtol`が `romberg`の精度を決定します。 `romberg`は、連続する近似の間の絶対差が `rombergabs`よりも小さい時か、連続する近似に関する相対差が `rombergtol`よりも小さい時、成功のうちに終了します。 従って、 `rombergabs`が 0.0 (デフォルト)の時、 相対誤差テストだけが `romberg`に効果を持ちます。

  `romberg`は、 あきらめる前に、せいぜい `rombergit`回、ステップサイズを半分にします; それゆえ関数評価の最大回数は `2^rombergit`です。 もし `rombergabs`や `rombergtol`によって確立される誤差基準が満たされないなら、 `romberg`はエラーメッセージを印字します。 `romberg`はいつも、少なくとも `rombergmin`回の繰り返しを行います; これは、被積分関数が振動的な時、見せかけの終了を防ぐつもりの発見的方法です。

  `romberg`は、積分変数を特定の値にバインド(する前ではなく)した後、 被積分関数を繰り返し評価します。 この評価ポリシーは、多次元積分を計算するための `romberg`の入れ子のコールを可能にします。 しかしながら、誤差計算は入れ子の積分の誤差を考慮しないので、 エラーは過小評価されるかもしれません。 また、多次元問題のために特別に工夫された方法は より少ない関数評価で同じ精度をもたらす可能性があります。

  `load(romberg)`はこの関数をロードします。

  `QUADPACK`、数値積分関数のコレクションも参照してください。

  例:

  1次元積分。

      (%i1) load ("romberg");
      (%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
      (%i2) f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000)
                    + 1/((x - 3)^2 + 1/200);
                          1                 1                1
      (%o2) f(x) := -------------- + --------------- + --------------
                           2    1           2    1            2    1
                    (x - 1)  + ---   (x - 2)  + ----   (x - 3)  + ---
                               100              1000              200
      (%i3) rombergtol : 1e-6;
      (%o3)                 9.9999999999999995E-7
      (%i4) rombergit : 15;
      (%o4)                          15
      (%i5) estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
      (%o5)                   173.6730736617464
      (%i6) exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
      (%o6) 10 sqrt(10) atan(70 sqrt(10))
       + 10 sqrt(10) atan(30 sqrt(10)) + 10 sqrt(2) atan(80 sqrt(2))
       + 10 sqrt(2) atan(20 sqrt(2)) + 10 atan(60) + 10 atan(40)
      (%i7) abs (estimate - exact) / exact, numer;
      (%o7)                7.5527060865060088E-11

  `romberg`の入れ子のコールで実装された 2次元積分。

      (%i1) load ("romberg");
      (%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
      (%i2) g(x, y) := x*y / (x + y);
                                          x y
      (%o2)                   g(x, y) := -----
                                         x + y
      (%i3) rombergtol : 1e-6;
      (%o3)                 9.9999999999999995E-7
      (%i4) estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
      (%o4)                   0.81930239628356
      (%i5) assume (x > 0);
      (%o5)                        [x > 0]
      (%i6) integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
                                                3
                                          2 log(-) - 1
                          9                     2        9
      (%o6)       - 9 log(-) + 9 log(3) + ------------ + -
                          2                    6         2
      (%i7) exact : radcan (%);
                          26 log(3) - 26 log(2) - 13
      (%o7)             - --------------------------
                                      3
      (%i8) abs (estimate - exact) / exact, numer;
      (%o8)                1.3711979871851024E-10

  Categories: Package romberg · Numerical methods

オプション変数: rombergabs

  デフォルト値: 0.0

  グローバル変数 `rombergabs`と `rombergtol`は `romberg`の精度を決定します。 `romberg`は、連続する近似の間の絶対差が `rombergabs`よりも小さい時か、連続する近似に関する相対差が `rombergtol`よりも小さい時、成功のうちに終了します。 従って、 `rombergabs`が 0.0 (デフォルト)の時、 相対誤差テストだけが `romberg`に効果を持ちます。

  `rombergit`と `rombergmin`も参照してください。

  Categories: Package romberg

オプション変数: rombergit

  デフォルト値: 11

  `romberg`は、あきらめる前に、せいぜい `rombergit`回、ステップサイズを半分にします; それゆえ、関数評価の最大回数は `2^rombergit`です。 `romberg`はいつも、少なくとも `rombergmin`回の繰り返しを行います; これは、被積分関数が振動的な時、見せかけの終了を防ぐつもりの発見的方法です。

  `rombergabs`と `rombergtol`も参照してください。

  Categories: Package romberg

オプション変数: rombergmin

  デフォルト値: 0

  `romberg`はいつも、少なくとも `rombergmin`回の繰り返しを行います; これは、被積分関数が振動的な時、見せかけの終了を防ぐつもりの発見的方法です。

  `rombergit`, `rombergabs`, `rombergtol`も参照してください。

  Categories: Package romberg

オプション変数: rombergtol

  デフォルト値: 1e-4

  グローバル変数 `rombergabs`と `rombergtol`は `romberg`の精度を決定されます。 `romberg`は、連続する近似の間の絶対差が `rombergabs`よりも小さい時か、連続する近似に関する相対差が `rombergtol`よりも小さい時、成功のうちに終了します。 従って、 `rombergabs`が 0.0 (デフォルト)の時、 相対誤差テストだけが `romberg`に効果を持ちます。

  `rombergit`と `rombergmin`も参照してください。

  Categories: Package romberg

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