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# 16. Elliptic Functions

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## 16.1 Introduction to Elliptic Functions and Integrals

Maximaは Jacobiの楕円関数と不完全楕円積分のサポートを含みます。 これは、数値評価はもちろんこれらの関数のシンボル操作を含みます。 これらの関数の定義とプロパティの多くは Abramowitz and Stegun, 16-17章にあります。 可能な限り、そこで与えられた定義と関係を使います。

特に、すべての楕円関数と積分は 法 kや率角 \alphaの代わりにパラメータ mを使います。 これは、 楕円関数のために率角を使うAbramowitz and Stegunと違うところです。 以下の関係は真です: m = k^2 and k = \sin(\alpha)

楕円関数と積分は、主としてシンボル計算をサポートするように意図されています。 それ故に関数と積分の導関数のほとんどが知られています。 しかしながら、もし浮動小数点値を与えたなら浮動小数点の結果を返します。

楕円関数と積分の他の性質のほとんどのサポートはまだ書かれていません。

楕円関数のいくつかの例:

    (%i1) jacobi_sn (u, m);
    (%o1)                    jacobi_sn(u, m)
    (%i2) jacobi_sn (u, 1);
    (%o2)                        tanh(u)
    (%i3) jacobi_sn (u, 0);
    (%o3)                        sin(u)
    (%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
    (%o4)            jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
    (%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
    (%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)

          elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
     (u - ------------------------------------)/(2 m)
                         1 - m

                2
       jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
     + --------------------------------
                  2 (1 - m)

楕円積分のいくつかの例:

    (%i1) elliptic_f (phi, m);
    (%o1)                  elliptic_f(phi, m)
    (%i2) elliptic_f (phi, 0);
    (%o2)                          phi
    (%i3) elliptic_f (phi, 1);
                                   phi   %pi
    (%o3)                  log(tan(--- + ---))
                                    2     4
    (%i4) elliptic_e (phi, 1);
    (%o4)                       sin(phi)
    (%i5) elliptic_e (phi, 0);
    (%o5)                          phi
    (%i6) elliptic_kc (1/2);
                                         1
    (%o6)                    elliptic_kc(-)
                                         2
    (%i7) makegamma (%);
                                     2 1
                                gamma (-)
                                       4
    (%o7)                      -----------
                               4 sqrt(%pi)
    (%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
                                    1
    (%o8)                 ---------------------
                                        2
                          sqrt(1 - m sin (phi))
    (%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
           elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
    (%o9) (-----------------------------------------------
                                  m

                                     cos(phi) sin(phi)
                                 - ---------------------)/(2 (1 - m))
                                                 2
                                   sqrt(1 - m sin (phi))

楕円関数と積分のサポートは、Raymond Toyによって書かれました。 Maximaの配布を管理するGeneral Public License (GPL)の条件のもと置かれています。

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## 16.2 Functions and Variables for Elliptic Functions

関数: jacobi_sn (u, m)

  Jacobiの楕円関数 sn(u,m)

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関数: jacobi_cn (u, m)

  Jacobiの楕円関数 cn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: jacobi_dn (u, m)

  Jacobiの楕円関数 dn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: jacobi_ns (u, m)

  Jacobiの楕円関数 ns(u,m) = 1/sn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: jacobi_sc (u, m)

  Jacobiの楕円関数 sc(u,m) = sn(u,m)/cn(u,m).

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関数: jacobi_sd (u, m)

  Jacobiの楕円関数 sd(u,m) = sn(u,m)/dn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: jacobi_nc (u, m)

  Jacobiの楕円関数 nc(u,m) = 1/cn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: jacobi_cs (u, m)

  Jacobiの楕円関数 cs(u,m) = cn(u,m)/sn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: jacobi_cd (u, m)

  Jacobiの楕円関数 cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: jacobi_nd (u, m)

  Jacobiの楕円関数 nd(u,m) = 1/dn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: jacobi_ds (u, m)

  Jacobiの楕円関数 ds(u,m) = dn(u,m)/sn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: jacobi_dc (u, m)

  Jacobiの楕円関数 dc(u,m) = dn(u,m)/cn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: inverse_jacobi_sn (u, m)

  Jacobiの楕円関数の逆関数 sn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: inverse_jacobi_cn (u, m)

  Jacobiの楕円関数の逆関数 cn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: inverse_jacobi_dn (u, m)

  Jacobiの楕円関数の逆関数 dn(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: inverse_jacobi_ns (u, m)

  Jacobiの楕円関数の逆関数 ns(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: inverse_jacobi_sc (u, m)

  Jacobiの楕円関数の逆関数 sc(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: inverse_jacobi_sd (u, m)

  Jacobiの楕円関数の逆関数 sd(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: inverse_jacobi_nc (u, m)

  Jacobiの楕円関数の逆関数 nc(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: inverse_jacobi_cs (u, m)

  Jacobiの楕円関数の逆関数 cs(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: inverse_jacobi_cd (u, m)

  Jacobiの楕円関数の逆関数 cd(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: inverse_jacobi_nd (u, m)

  Jacobiの楕円関数の逆関数 nd(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: inverse_jacobi_ds (u, m)

  Jacobiの楕円関数の逆関数 ds(u,m).

  Categories: Elliptic functions

関数: inverse_jacobi_dc (u, m)

  Jacobiの楕円関数の逆関数 dc(u,m).

  Categories: Elliptic functions

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## 16.3 Functions and Variables for Elliptic Integrals

関数: elliptic_f (phi, m)

  以下のように定義された第一種不完全楕円積分

  integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

  elliptic_eと elliptic_kcも参照してください。

  Categories: Elliptic integrals

関数: elliptic_e (phi, m)

  以下のように定義された第二種不完全楕円積分

  elliptic_e(phi, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

  elliptic_fとelliptic_ecも参照してください。

  Categories: Elliptic integrals

関数: elliptic_eu (u, m)

  以下のように定義された第二種不完全楕円積分

  integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)

  ここで tau = sn(u,m).

  これは

  elliptic_eu(u, m) = elliptic_e(asin(sn(u,m)),m) によって elliptic_eと関連付けられます。

  elliptic_eも参照してください。

  Elliptic integrals

関数: elliptic_pi (n, phi, m)

  以下のように定義された第三種不完全楕円積分

  integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

  Categories: Elliptic integrals

関数: elliptic_kc (m)

  以下のように定義された第一種完全楕円積分

  integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)

  mのある値に関して 積分の値は Gamma関数で表されることが知られています。 それらを評価するには `makegamma`を使ってください。

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関数: elliptic_ec (m)

  以下のように定義された第二種完全楕円積分

  integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)

  mのある値に関して 積分の値は Gamma関数で表されることが知られています。 それらを評価するには `makegamma`を使ってください。

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